Ein Wetterballon der Messgeräte oder eine Kamera in die Stratosphäre befördert, steigt entsprechend seinem Auftrieb in die Höhe und platzt irgendwann. Die Kapsel mit den Geräten schwebt dann an einem Fallschirm wieder zur Erde zurück. Durch den mitgeführten GPS-Tracker lässt sich die Kapsel  dann orten und anschließend bergen.

Schauen wir uns die physikalischen Gegebenheiten einmal an und bemühen dazu auch ein wenig die Mathematik. Zwei Gase spielen hier eine bedeutende Rolle. Zum einen Luft, die uns umgibt und Helium mit dem der Ballon gefüllt ist. Es wäre auch Wasserstoff denkbar, der einen noch höheren Auftrieb als Helium ermöglichen würde. Aus Sicherheitsgründen scheidet Wasserstoff aber aus. Der Wetterballon steigt, weil er mit dem enthaltenen Helium leichter ist als die verdrängte Luft. Sehen wir uns die Gegebenheiten einmal genauer an.

Die Dichte von Luft beträgt 1,225 kg/m3 die Dichte von Helium beträgt 0,179 kg/m3 . Der Auftrieb errechnet sich dann aus der Differenz dieser beiden Größen die somit 1,046 kg/m3 beträgt.

Der Gesamtauftrieb berechnet sich wie folgt:

F = V*(pLuft – pHe)

mit F=Auftrieb;  pLuft=Dichte der Luft; pHe =Dichte von Helium und V=Volumen des Ballons

Das Volumen des Ballons kann anhand folgender Formel berechnet werden:

V = 3,14/6*D3

mit D=Durchmesser des Ballons.

Setzt man die Beiden Gleichungen zusammen und vereinfachen sie so weit wie möglich, dann bekommen wir folgende Formel, mit welcher der Auftrieb für einen Helium gefüllten Ballon berechnet werden kann:

F = 0,548 * D3

wobei F in kg und D in m angeben wird.

Die Atmosphäre der Erde wird mit steigender Höhe immer dünner. In der Physik gibt es Modelle mit der die Atmosphäre beschrieben wird und die es ermöglichen Berechnungen vorzunehmen. Wir wollen hier die sogenannte amerikanische Standardatmosphäre unterstellen.  Sie sagt folgenden Verlauf des Luftdrucks voraus:

P = P0*(1-h/44331m)4,255876

mit P=Luftdruck; P0=Luftdruck an Erdboden und h=Höhe in m über Grund.

Für Höhen viel kleiner als 44000 Meter lässt sich Formel noch vereinfachen zu:

P/P0 = exp(-h/10416m)

Für den Aufstieg des Ballons können wir vereinfacht annehmen, dass die Änderung der Dichte innerhalb des Ballons proportional zur Änderung der Dichte der umgebenden Luft ist.  Somit ergibt sich folgendes Verhältnis:

P/P0 = (D0/D)3

mit P=Luftdruck in einer Höhe h ; P0=Luftdruck an Erdboden; D= Durchmesser des Ballons in einer Höhe h und D0=Durchmesser des Ballons am Erdboden.

Kombiniert man die beiden letzten Formeln und vereinfacht sie so weit wie möglich, lässt sich der Durchmesser des Wetterballons in der Höhe h wie folgt berechnen:

D = D0 * exp(h / 31242m)

Die Hersteller geben als Parameter für ihre Wetterballons den Durchmesser an, bei dem der Ballon durchschnittlich platzt. Diesen Durchmesser nennen wir Dp. Wenn wir nun die letzte Formel nach h umstellen, lässt sich die Höhe berechnen in der Ballon voraussichtlich platzt:

hp = 31242 * ln (Dp / D0)

mit hp=Höhe in m in welcher der Ballon platzt; Dp=vom Hersteller angegebener Durchmesser, bei dem der Ballon platzt und D0 Durchmesser des Ballons am Erdboden.

Wenn eine ruhige Atmosphäre vorausgesetzt wird, lässt sich die Aufstiegsgeschwindigkeit eines mit Helium gefüllten Wetterballons anhand folgender Formel berechnen:

va = Wurzel(FR * g / (0,5 * Cd * A * pLuft))

Mit va=Aufstiegsgeschwindigkeit in m/s; F=Restauftrieb in kg;  g= Erdbeschleunigung mit 9,81m/s2; Cd=Luftwiderstandsbeiwert mit 0,25;  A=Querschnittsfläche des Ballons in m2 und pLuft=Dichte der Luft in kg/m3

Dabei errechnet sich der Restauftrieb des Ballons aus dem Gesamtauftrieb F (siehe dritte Formel) abzüglich des Gewichtes des Ballons und abzüglich des Gewichtes des Nutzlast. Da sich der Durchmesser des Ballons nicht besonders exakt bestimmen lässt, kann man den Auftrieb des Wetterballons (nur der Ballon alleine) auch mit einer Federwage messen. Zieht man von diesem gemessenen Wert noch das Gewicht der Nutzlast ab, so erhält man ebenfalls den Restauftrieb.

Die Querschnittsfläche des Ballons berechnet sich wie folgt:

A = 3,14 * (D0/2)2

Abschließend lässt sich noch die Zeitdauer bis zum Platzen des Wetterballons berechnen:

Tp = hp / va

Berechnungen zum Aufstieg des Wetterballons

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